فصل: الفصل الخامس: في وجوه الحسابات:

.الفصل الخامس: في وجوه الحسابات:

حساب الهند قوامه تسع صور، يكتفي بها في الدلالة على الأعداد إلى ما لا نهاية له.
وأسماء مراتبها أربعة، وهي: الآحاد والعشرات والمئون، والألوف.
فالواحد يقوم مقام العشرة، ومقام مائة، ومقام ألف، ومقام عشرة آلاف، ومائة ألف، وألف ألف، إلى ما لا نهاية له من العقود.
ويقوم الاثنن مقام العشرين، ومقام المائتين، ومقام الألفين، والعشرين ألفاً، والمائتي ألف، والألفي ألف، وكذلك سائر العقود على هذا القياس، أعني الثلاثة مقام الثلاثين، والثلاثمائة، والثلاثة آلاف، والثلاثين ألفاً، والثلاثمائة ألف، والثلاثة آلاف ألف.
وإنما يعرف ذلك بمراتب الوضع على ما في هذا الجدول، وهذه صورتها: آحاد 1 2 3 4 5 6 7 8 9 عشرات 10 20 30 40 50 60 70 80 90 مئون 100 200 300 400 500 600 700 800 900 ألوف 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
وهذه الدوائر الصغار تسمى: الأصفار، توضع لحفظ المراتب في المواضع التي ليس فيها أعداد، فإذا جاوزت الأعداد الألوف صيرت مرتبة الألوف مرتبة الآحاد، ثم ما يليها مرتبة العشرات، ثم مرتبة المئين، ثم مرتبة الألوف الألوف، فإذا زادت صيرت مرتبة الألف ألف مرتبة الآحاد، على هذا القياس إلى ما لا نهاية له، مثال ذلك هذه الصور التسع إذا لم توجد على الانفراد، بل اعتبرت مراتبها على ما وضعت عليه هذه الصورة: 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، كان ذلك تسع مائة ألف ألف، وثمانين ألف ألف، وسبعة آلاف ألف، وستمائة ألف، وأربعة وخمسين ألفاً وثلاثمائة وإحدى وعشرين، لأن الواحدة كان في المرتبة الأولى، فكان واحداً، وصورة الاثنين كانت في المرتبة الثانية فكانت عشرين. وصورة الثلاثة في المرتبة الثالثة فكانت ثلاثمائة، وصورة الأربعة في المرتبة الرابعة فكانت أربعة آلاف، وكذلك سائرها على هذا القياس.
حروف حساب الجمل، وهي: أبجد، هوز، حطي، كلمن، سعفص، قرشت، ثخذ، ضظغ، هذا على ما يستعمله المنجمون والحساب، فأما على ما تعرفه العرب: فأبوجاد، هواز، حطي، كلمون، سعفص، قرشات.
ويزعمون أنها أسماء ملوك كانوا للعرب العاربة، وقد وضعت الحروف على نحو ما يستعمل المنجمون في جدول، ووضع عدد كل حرف منها بإزائه، وهذا هو الجدول.
فإذا ركبت منها إثنين أو ثلاثة، فإن سبيلك أن تقدم الأكثر وتؤخر الأقل، مثال ذلك، يب، إثنا عشر، وكذلك، قلج، مائة وثلاثة وعشرون.
وقد يكتب بهذه الحروف كما يكتب حساب الهند، وهو أن تكتب بتسعة أحرف منها من الألف إلى الطاء. وتوضع هذه العلامة في المواضع آحاد ا واحد ب إثنان ج ثلاثة د أربعة ه خمسة وستة ز سبعة ح ثمانية ط تسعة عشرات ي عشرة ك عشرون ل ثلاثون م أربعون ن خمسون س ستون ع سبعون ف ثمانون ص تسعون ق مائة ر مائتان ش ثلثمائة ت أربعمائة ث خمسمائة مئوية خ ستمائة ذ سبعمائة ض ثمانمائة ظ تسعمائة غ ألف الخالية مكان الصفر في حساب الهند، كي يحفظ بها الترتيب فقط.
الضرب: تضعيف أحد العددين بآحاد الآخر، مثل أن تضرب ثلاثة في أربعة، فتبلغ إثني عشر، فكأنك ضعفت الأربعة ثلاث مرات، أو ضعفت الثلاثة أربع مرات، فكان معنى قولك: ثلاثة في أربعة: ثلاثة أربع مرات.
قال الخليل: مبلغ ما يجتمع من الضرب هو الجذاء، تقول: جذاء عشرة في عشرة: مائة، وجذاء ثلاثة في أربعة: إثنا عشر.
قال: ويسمون جملة هذا الحساب، البرجان.
القسمة: أخذ حصة الواحد من المقسوم عليهم من المقسوم، كأنك تقسم عشرين درهماً على خمسة نفر، فحصة الواحد من المقسوم عليهم، وهم النفر، من الدراهم: أربعة، وهذا المال هو المقسوم، والرجال هم المقسوم عليهم، وما يخرج من القسمة فهو القسم، بكسر القاف.
الجذر: كل ما تضربه في نفسه.
والمال: كل ما يجتمع من ضرب عدد في نفسه، مثل ثلاثة في ثلاثة: تسعة، فالثلاثة: الجذر، والتسعة: المال.
الجذر المطلق، هو المنطوق به، وهو ما يعرف به حقيقة مقداره، ويمكن أن ينطق به وهو مثل جذر المائة، وهو عشرة، وجذر تسعة، وهو ثلاثة، وجذر أربعة، وهو إثنان.
والجذر الأصم: الذي لا سبيل إلى علم حقيقته بالعدد، مثل جذر إثنين، أو جذر ثلاثة، أو جذر عشرة.
وقد يؤخذ بالتقريب، ولا تدرك حقيقته.
وحكي أن من تسبيح براهمة الهند: سبحان عالم الجذور.
الصم، ذو الأسمين: ما لا يمكن أن ينطق به بلفظ واحد، مثل قولك: جذر عشرين، وجذر عشرة معاً، أو جذر العشرين إلا جذر عشرة.
المكعب، هو المال إذا ضرب في ضلعه، أي جذره، فالمبلغ، هو المكعب، وذلك الجذر هو الكعب، مثال ذلك: ثلاثة في ثلاثة: تسعة، وتسعة في ثلاثة: سبعة وعشرون، فسبعة وعشرون هو المكعب، وكعبه ثلاثة.
مال المال، هو المال إذا ضرب في نفسه، فإن المجتمع هو مال المال، وكذلك إذا ضرب المكعب في كعبه صار مال المال، مثال ذلك: التسعة، هو مال، لأنه مربع، فإذا ضربته في نفسه صار واحداً وثمانين، وكذلك سبعة وعشرون، هو مكعب، وإذا ضربته في كعبة، وهو ثلاثة، صار واحداً وثمانين.
المال، إذا ضرب في المكعب، سمي: مال كعب، فإذا ضرب مال المال في المكعب سمي: المبلغ.
حساب الخطائين أيضاً، من تدبير الحساب لاستخراج مسائل الوصايا ونحوها، يسمى ذلك، لأنه يؤخذ عدد ما يستعمل فيه شرائط المسألة، فإن خرجت وإلا حفظ مقدار ما وقع فيها من الخطأ، وأخذ عدد آخر وعمل به، مثل ذلك، فإن خرجت وإلا حفظ مقدار الخطأ الثاني، ثم يستخرج من هذين الخطأين حقيقة الصواب.
ومن حسابات الفقهاء تدبير الحشو، ويسمى: التتمة، وحساب الدرهم والدينار، وحساب الديباج، ويقع في هذه كلها إما اعتياض، وإما إختلال وإختلاف، وأحسنها وأجمعها الذي لا يختلف في حال هو حساب الجبر والمقابلة.

.الباب الخامس: في الهندسة:

وهو أربعة فصول:

.في مقدمات هذه الصناعة:

هذه الصناعة تسمى باليونانية: جومطرياً، وهي صناعة المساحة. وأما الهندسة، فكلمة فارسية معربة، وفي الفارسية: إندازة، أي المقادير. قال الخليل: المهندس: الذي يقدر مجاري القنى ومواضعها حيث تحتضر، وهو مشتق من الهندزة، وهي فارسية، فصيرت الزاي سيناً في الإعراب، لأنه ليس بعد الدال زاي في كلام العرب.
وقال بعضهم: هي إعراب: أنديشه، أي الفكرة، وليس ذلك بصحيح. فإن في بعض كلام الفرس: إندازه با اختر ماري بايد، أي الهندسة يحتاج إليها مع أحكام النجوم. وقد يقع هذا الإسم على تقدير المياه، كما قال الخليل، لأنه نوع من هذه الصناعة وجزء لها.
كتاب الأسطقسات، هو كتاب إقليدس في أصول هذه الصناعة، وقد فسرت الأسطقس في باب الفلسفة، وإقليدس: إسم الرجل الذي صنف هذا الكتاب وجمع فيه أصول الهندسة.
المصادرة: ما يصدر به الكتاب، أو الباب من أبواب الهندسة من مقدمات المسألة، وقد يستعمل أصحاب هذه الصناعة ألفاظاً مضى تفسيرها في الأبواب المتقدمة.
المقادير، هي ذوات الأبعاد من الخطوط والبسائط والأجسام.
الأبعاد، هي الطول والعرض والعمق، وسواء قلت: عمق، أو سمك، والفصل بينهما أن السمك فيما كان عالياً من الأجسام، والعمق فيما كان منخفضاً.
الجسم، هو المقدار ذو الثلاثة الأبعاد التي هي الطول والعرض والعمق، ونهاياته بسائط.
البسيط والسطح، هو المقدار ذو البعدين، وهما الطول والعرض فقط، ولا يدرك بالحس إلا مع الجسم، لأنه نهاية جسم، فأما على الإنفراد فإنه يدرك بالوهم فقط، ونهايات البسائط خطوط.
الخط، هو المقدار ذو البعد الواحد، وهو الطول فقط، ولا يمكن رؤيته إلا مع البسيط، لأنها نهايته، فأما على الإنفراد فإنه يدرك بالوهم فقط، ونهايتها الخط النقطتان.
والنقطة: شيء لا بعد له من طول ولا عرض ولا عمق، ولا تدرك بالحس إلا مع الخط، لأنها نهايته، وأما على الإنفراد فإنها لا تدرك إلا بالوهم.

.الفصل الثاني: في الخطوط:

الخطوط ثلاثة: مستقيم، ومقوس، ومنحن.
الخطوط المتوازية، هي التي لا تلتقي وإن أخرجت بلا نهاية.
الخطوط المتلاقية: التي تلتقي وتحيط بزاوية.
الزوايا: مسطحة أو مجسمة، فأما المسطحة، فهي التي تحدث عن إلتقاء خطين على غير إستقامة، والمجسمة: التي تحدث عن إلتقاء ثلاثة خطوط على غير إستقامة، وعلى غير سطح واحد.
وأنواع الزوايا المسطحة: ثلاثة: قائمة، ومنفرجة، وحادة.
فالزاوية القائمة: التي إذا أخرج أحد الضلعين المحيطين بها كانت التي تحدث مثل الأولى.
والزاوية الحادة، هي أصغر من القائمة.
والزاوية المنفرجة، هي أكبر من القائمة.
الدائرة، هي السطح المعروف.
والمحيط، هو الخط الذي يحيط بهذا السطح، والقطعة من هذا الخط المحيط تسمى: قوساً.
الأضلاع، هي الخطوط التي تحيط بالسطوح، واحدها: ضلع.
الساقان: الخطان اللذان يحيطان بزاوية، كل خط ساق منهما.
القاعدة: الخط الذي يصل بين طرفي الساقين.
القطر: الذي يخرج من طرف زاوية وينتهي إلى زاوية أخرى، والخط الذي يقسم الدائرة بنصفين يسمى أيضاً: قطراً.
العمود: الخط الذي إذا قام على خط آخر أحاط معه بزاوية قائمة.
الوتر: الخط الذي يصل بين طرفي القوس، أو الخط المنحني، والخط الذي يوتر زاوية ب يسمى: وتراً أيضاً، أعني القاعدة.
السهم: الخط الذي يخرج من النقطة التي تقسم وتر القوس بنصفين، ويحيط مع الوتر بزاوية قائمة، مثل خط: 5ب.
الجيب المستوى، هو نصف وتر ضعف القوس التي هو جيبها، مثل: آه، فإنه نصف وتر ضعف قوس آب.
الجيب المعكوس، هو سهم ضعف القوس الذي هو جيب لها، كخط 5ب لقوس آب.